Логотип

BasedCalc

Дисперсия ряда чисел

Введение

Дисперсия — это статистическая мера, которая отражает степень разброса значений в наборе данных. Она показывает, насколько далеко элементы ряда отклоняются от среднего значения. Дисперсия используется наряду со стандартным отклонением для оценки вариации и средств анализа данных в статистике, экономике и естественных науках.

Операция

Дисперсия вычисляется через следующие шаги:

  1. Найдите среднее арифметическое набора данных.
  2. Вычислите разницу между каждым значением и средним, затем возведите в квадрат.
  3. Найдите среднее значение полученных квадратов, которое и будет дисперсией.

Формула для вычисления дисперсии массива чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n:

σ2=1n∑i=1n(xi−xˉ)2\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2

где xˉ\bar{x} — среднее арифметическое, nn — количество чисел.

Пример

Рассмотрим набор данных: 3, 7, 7, 19.

  1. Среднее арифметическое: xˉ=3+7+7+194=9\bar{x} = \frac{3 + 7 + 7 + 19}{4} = 9
  2. Квадрат отклонений от среднего: (3−9)2,(7−9)2,(7−9)2,(19−9)2(3-9)^2, (7-9)^2, (7-9)^2, (19-9)^2 это 36,4,4,10036, 4, 4, 100.
  3. Дисперсия: σ2=36+4+4+1004=1444=36\sigma^2 = \frac{36 + 4 + 4 + 100}{4} = \frac{144}{4} = 36

Свойства

  • Измеряется в квадрате единиц исходных данных.
  • Чувствительность к выбросам: Отклонения, большие или меньшие других значений, могут значительно увеличить дисперсию.
  • Несмещённая оценка для выборки: В статистике выборок дисперсия часто корректируется делением на (n−1)(n-1) для получения несмещённой оценки.

Примеры использования

Пример 1

Рассмотрим данные о росте: 150 см, 160 см, 165 см, 170 см, 175 см. Среднее: 164 см.

  • Отклонения: 196,16,1,36,121196, 16, 1, 36, 121
  • Дисперсия: 3705=74\frac{370}{5} = 74

Пример 2

Наблюдения по температуре: 22°C, 24°C, 21°C, 23°C, 25°C. Среднее: 23°C.

  • Отклонения: 1,1,4,0,41, 1, 4, 0, 4
  • Дисперсия: 105=2\frac{10}{5} = 2

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

  • Что такое дисперсия? Дисперсия показывает, насколько сильно значения набора данных разбросаны относительно среднего.

  • Чем дисперсия отличается от стандартного отклонения? Дисперсия измеряется в квадрате единиц данных, в то время как стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сами данные.

  • Когда полезно применять дисперсию? Дисперсия полезна при анализе вариации в данных, например, для оценки стабильности процессов или прогнозирования будущих значений.

Примеры из жизни

  • Образование: Дисперсия оценок помогает увидеть разнообразие в успеваемости учеников.
  • Производственный контроль: Анализируется вариативность характеристик продукции для обеспечения качества.
  • Финансовый анализ: Используется для оценки риска в инвестициях через анализ волатильности доходности.

Ссылки на литературу и ресурсы