Логотип

BasedCalc

Стандартное отклонение ряда чисел

Введение

Стандартное отклонение — это статистическая мера, которая показывает степень разброса или вариации значений в наборе данных. Вместе со средним арифметическим, стандартное отклонение помогает понять, насколько сильно значения отклоняются от среднего, что важно в различных исследовательских и прикладных областях.

Операция

Стандартное отклонение вычисляется с помощью следующих шагов:

  1. Найдите среднее арифметическое набора данных.
  2. Вычислите разницу между каждым значением и средним, затем возведите в квадрат.
  3. Найдите среднее значение полученных квадратов (дисперсия).
  4. Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии.

Формула стандартного отклонения для массива чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n:

σ=1n∑i=1n(xi−xˉ)2\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}

где xˉ\bar{x} — среднее арифметическое, nn — количество чисел.

Пример

Рассмотрим набор данных: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.

  1. Среднее арифметическое: xˉ=2+4+4+4+5+5+7+98=5\bar{x} = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = 5
  2. Квадрат отклонений от среднего: (2−5)2,(4−5)2,(4−5)2,(4−5)2,(5−5)2,(5−5)2,(7−5)2,(9−5)2(2-5)^2, (4-5)^2, (4-5)^2, (4-5)^2, (5-5)^2, (5-5)^2, (7-5)^2, (9-5)^2 это 9,1,1,1,0,0,4,169, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16.
  3. Дисперсия: 9+1+1+1+0+0+4+168=328=4\frac{9+1+1+1+0+0+4+16}{8} = \frac{32}{8} = 4
  4. Стандартное отклонение: σ=4=2\sigma = \sqrt{4} = 2

Свойства

  • Единицами измерения является та же единица, что и у исходных данных.
  • Чувствительность к выбросам: Большие выбросы могут значительно увеличить стандартное отклонение.
  • Разница между выборочным и генеральным стандартным отклонением: Для выборки часто используется корректировка (n−1)(n-1) в знаменателе (так называемая "несмещённая оценка").

Примеры использования

Пример 1

Рассмотрим баллы 5 студентов на экзамене: 70, 80, 80, 90, 100. Среднее: 84.

  • Отклонения: 196,16,16,36,256196, 16, 16, 36, 256
  • Дисперсия: 5205=104\frac{520}{5} = 104
  • Стандартное отклонение: 104≈10.2\sqrt{104} \approx 10.2

Пример 2

Для измерения температур: 15°C, 17°C, 16°C, 14°C, 16°C, среднее 15.6°C.

  • Отклонения: 0.36,1.96,0.16,2.56,0.160.36, 1.96, 0.16, 2.56, 0.16
  • Дисперсия: 5.25=1.04\frac{5.2}{5} = 1.04
  • Стандартное отклонение: 1.04≈1.02°C\sqrt{1.04} \approx 1.02°C

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

  • Что показывает стандартное отклонение? Оно показывает усреднённое отклонение значений от их среднего, выраженное в той же размерности, что и сами данные.

  • Каково отличие между дисперсией и стандартным отклонением? Дисперсия выражается в квадрате единиц данных, а стандартное отклонение — в тех же единицах, что и сами данные.

  • Когда лучше использовать стандартное отклонение, а не диапазон? Стандартное отклонение является более надёжной мерой разброса данных в сравнении с диапазоном, так как не зависит от только двух крайних значений.

Примеры из жизни

  • Финансовый риск: Стандартное отклонение используется для оценки волатильности стоимостных активов.
  • Качество продукции: В производственных процессах стандартное отклонение помогает контролировать стабильность качества продукции.
  • Научные исследования: Применяется в биомедицинских исследованиях для оценки вариативности биологических данных.

Ссылки на литературу и ресурсы