Логотип

BasedCalc

Ряд X

Ряд Y

Коэффициент корреляции Кенделла

Введение

Коэффициент корреляции Кенделла — это статистическая мера, которая используется для оценки силы и направления связи между двумя переменными. Эта непараметрическая мера основывается на рангах данных и полезна, когда данные не следуют нормальному распределению. Коэффициент корреляции Кенделла часто используется в экономике, биологии и других областях, где важно понять взаимосвязь между переменными.

Операция

Коэффициент корреляции Кенделла, обозначаемый как τ\tau, оценивает степень согласия пары данных. Если имеется nn наборов данных (xi,yi)(x_i, y_i), сначала необходимо вычислить количество согласующихся (CC) и несогласующихся (DD) пар:

  • Пара (xi,yi)(x_i, y_i) и (xj,yj)(x_j, y_j) считаются согласующимися, если выполнение одного из условий xi>xjx_i > x_j и yi>yjy_i > y_j или xi<xjx_i < x_j и yi<yjy_i < y_j справедливо.
  • Пара считается несогласующейся, если выполнено одно из условий xi>xjx_i > x_j и yi<yjy_i < y_j или xi<xjx_i < x_j и yi>yjy_i > y_j.

Коэффициент вычисляется по формуле:

τ=C−D12n(n−1)\tau = \frac{C - D}{\frac{1}{2} n(n-1)}

где CC — количество согласующихся пар, DD — количество несогласующихся пар.

P-value вычисляется с использованием статистических тестов, таких как permutation test, для оценки значимости корреляции.

Свойства

  • Диапазон значений: τ\tau принимает значения от −1-1 до 11, где 11 указывает на идеальную прямую зависимость, −1-1 — на идеальную обратную.
  • Симметрия: Порядок выборок не влияет на τ\tau, т.е., τ(X,Y)=τ(Y,X)\tau(X, Y) = \tau(Y, X).
  • Робастность: Непараметрический характер делает коэффициент устойчивым к выбросам и полезным для данных, не соответствующих нормальному распределению.

Примеры использования

Пример

Предположим, у нас есть данные рангов для двух переменных: X=[1,2,3]X = [1, 2, 3], Y=[2,1,3]Y=[2, 1, 3]

Вычисляем количество согласующихся и несогласующихся пар:

  • Пары: (1,2),(1,3),(2,3)(1, 2), (1, 3), (2, 3).
  • Согласующиеся: (1,3)(1, 3), (2,3)(2, 3).
  • Несогласующиеся: (1,2)(1, 2).

Затем τ\tau можно вычислить как:

τ=2−112×3×(3−1)=13≈0.333\tau = \frac{2 - 1}{\frac{1}{2} \times 3 \times (3-1)} = \frac{1}{3} \approx 0.333

Для p-value проведем соответствующий статистический тест для оценки значимости корреляции.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

  • Какую интерпретацию имеет коэффициент Кенделла?
    • Значение τ\tau близкое к 1 свидетельствует о высокой прямой зависимости, близкое к -1 — об обратной зависимости, а около 0 — о слабой зависимости.
  • Как отличается корреляция Кенделла от Пирсона?
    • Коэффициент Кенделла не предполагает линейность и распределение данных и работает с ранговыми данными, в отличие от Пирсона, который оценивает линейную зависимость.

Примеры из жизни

  • Исследования в области экологии: Анализ взаимосвязей между видами животных и изменениями окружающей среды.
  • Социальные науки: Изучение взаимосвязи между уровнем образования и уровнем дохода в популяции.
  • Финансы: Исследование корреляции между различными финансовыми инструментами на нестабильных рынках.

Ссылки на литературу и ресурсы