Сумма биномиальных коэффициентов

Введение

Биномиальные коэффициенты, также известные как "числа сочетаний", играют ключевую роль в комбинаторике и вероятности. Они определяют количество способов выбрать $k$ элементов из набора из $n$ элементов. Сумма биномиальных коэффициентов имеет значительные приложения в теории вероятностей и алгебре, и наш калькулятор поможет быстро вычислить эту сумму для заданных $n$ и $k$ .

Операция

Сумма биномиальных коэффициентов от 0 до $k$ для фиксированного $n$ определяется следующим образом:

\begin{equation*} \begin{aligned} S(n, k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \cdots + \binom{n}{k} \end{aligned} \end{equation*}

Согласно так называемой "теореме о сумме биномиальных коэффициентов", сумма всех биномиальных коэффициентов от 0 до $n$ равна $2^n$ . Однако, калькулятор позволяет находить сумму для любой верхней границы $k$ , не превышающей $n$ .

Свойства

Симметрия: Биномиальные коэффициенты симметричны, то есть $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ .
Рекурсивная зависимость: Каждый биномиальный коэффициент может быть найден по формуле $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ .
Сумма всех коэффициентов: $\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} = 2^n$ .

Примеры использования

Пример 1

Вычислите сумму биномиальных коэффициентов для $n = 4$ и $k = 2$ :

\begin{equation*} \begin{aligned} S(4, 2) &= \binom{4}{0} + \binom{4}{1} + \binom{4}{2} \\ &= 1 + 4 + 6 = 11 \end{aligned} \end{equation*}

Пример 2

Найдите сумму биномиальных коэффициентов для $n = 5$ и $k = 3$ :

\begin{equation*} \begin{aligned} S(5, 3) &= \binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} \\ &= 1 + 5 + 10 + 10 = 26 \end{aligned} \end{equation*}

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что такое биномиальный коэффициент?
- Биномиальный коэффициент $\binom{n}{k}$ представляет число способов выбрать $k$ элементов из $n$ -элементного множества, порядок при этом не учитывается.
Какова связь суммы биномиальных коэффициентов с биномиальной теоремой?
- Сумма всех биномиальных коэффициентов $\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} = 2^n$ , что связано с разложением $(1+1)^n = 2^n$ в соответствии с биномиальной теоремой.

Примеры из жизни

Теория вероятностей: Суммы биномиальных коэффициентов применяются для вычисления вероятностей, например в биномиальном распределении.
Кодирование данных: В задачах по оптимизации и выборе подмножеств данных расчет биномиальных коэффициентов помогает оптимизировать выборку.
Криптография: Комбинаторные методы, включая биномиальные коэффициенты, находят применение в алгоритмах шифрования.

Ссылки на литературу и ресурсы

Учебники и литература:
Онлайн курсы: