QR-разложение матрицы

Введение

QR-разложение — это представление матрицы как произведения двух матриц: ортогональной матрицы $Q$ и верхней треугольной матрицы $R$. Оно играет важную роль в численных методах линейной алгебры и используется для решения систем линейных уравнений, вычисления собственных значений и других задач.

Операция

Процесс QR-разложения матрицы $A$ заключается в нахождении матриц $Q$ и $R$ таких, что:

$$A = QR$$

Где:

• $Q$ — ортогональная матрица, т.е. $Q^T Q = I$, где $I$ — единичная матрица.
• $R$ — верхняя треугольная матрица.

QR-разложение может выполняться различными методами, такими как метод Грама-Шмитта, отражения Хаусхолдера или вращения Гивенса.

Свойства

• Ортогональность: Матрица $Q$ является ортогональной ($Q^T Q = I$).
• Треугольная природа: Матрица $R$ является верхней треугольной.
• Устойчивость к погрешностям: QR-разложение является стабильным методом для решения некоторых численных задач.
• Единственность: Если матрица $A$ имеет линейно независимые столбцы, то её QR-разложение существует и единственно (до знака элементов на главной диагонали матрицы $R$).

Примеры использования

Пошаговое разложение

Рассмотрим разложение матрицы $A$ размером $2 \times 2$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

Для данной матрицы при QR-разложении мы получаем матрицы $Q$ и $R$ следующим образом:

$$Q = \begin{pmatrix} -0.316 & -0.949 \\ -0.949 & 0.316 \end{pmatrix} \\ R = \begin{pmatrix} -3.162 & -4.427 \\ 0 & -0.632 \end{pmatrix}$$

Шаг 1: Нахождение матрицы $Q$

1. Первоначально мы находим вектор $q_1$ как нормированный первый столбец матрицы $A$:

   $$q_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$

   Норма $q_1$ равна (\sqrt6 = \sqrt10). Нормируем вектор $q_1$ и меняем его знак:

   $$u_1 = \frac{-1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.316 \\ -0.949 \end{pmatrix}$$

2. Следующим шагом является нахождение $q_2$, который ортогонален $q_1$:

   $$q_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} - \left(\frac{q_1^T \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}}{q_1^T q_1}\right) q_1$$

   Упрощая:

   $$\text{proj}_{q_1}(q_2) = -1 \cdot \begin{pmatrix} -0.316 \\ -0.949 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.316 \\ 0.949 \end{pmatrix}$$

   Итоговое значение для $q_2$:

   $$q_2 = \begin{pmatrix} -0.949 \\ 0.316 \end{pmatrix}$$

3. Собираем полную матрицу $Q$:

   $$Q = \begin{pmatrix} -0.316 & -0.949 \\ -0.949 & 0.316 \end{pmatrix}$$

Шаг 2: Нахождение верхней треугольной матрицы $R$

Матрица $R$ находится через произведение транспонированной матрицы $Q$ на $A$:

$$R = Q^T \cdot A = \begin{pmatrix} -0.316 & -0.949 \\ -0.949 & 0.316 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

Вычисляя элементы $R$:

• $R_{11} = -3.162$
• $R_{12} = -4.427$
• $R_{22} = -0.632$

Таким образом, QR-разложение матрицы $A$ состоит из матриц $Q$ и $R$:

$$A = QR = \begin{pmatrix} -0.316 & -0.949 \\ -0.949 & 0.316 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3.162 & -4.427 \\ 0 & -0.632 \end{pmatrix}$$

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

• Что такое QR-разложение?

• Это разложение матрицы на произведение ортогональной матрицы и верхней треугольной матрицы. Оно полезно для численных алгоритмов в линейной алгебре.

• Для чего используется QR-разложение?

• QR-разложение используется для решения систем линейных уравнений, вычисления собственных значений и в методах оптимизации.

Примеры из жизни

• Численные методы: В алгоритмах, которые требуют решения систем линейных уравнений с высоким уровнем точности.
• Машинное обучение: QR-разложение полезно для регрессионного анализа, где требуется минимизация функции ошибки.
• Инженерные расчеты: Часто используется в задачах оптимизации и в реальном времени для обработки сигналов.

Ссылки на литературу и ресурсы

• Учебники и литература:
  • Тыртышников Е. Е. «Матричный анализ и линейная алгебра»
  • Курош А. Г. «Курс высшей алгебры»
• Онлайн курсы:
  • MIT OpenCourseWare: Linear Algebra
  • Khan Academy: Matrices
  • Coursera: Linear Algebra