Умножение матриц

Введение

Умножение матриц - это операция, при которой каждый элемент результирующей матрицы является скалярным произведением строки первой матрицы на столбец второй матрицы. Умножение матриц играет важную роль в различных областях математики и других наук, таких как физика, информатика и экономика.

Операция

Формула умножения матриц $C = AB$ :

C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

Условия для умножения

Для того чтобы две матрицы могли быть умножены друг на друга, количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы. Если $A$ имеет размер $m \times n$ , а $B$ размер $n \times p$ , тогда их произведение $AB$ будет иметь размер $m \times p$ .

Свойства

Не коммутативность: Умножение матриц не коммутативно, то есть в общем случае $AB \neq BA$ .
Ассоциативность: Для матриц $A$ , $B$ и $C$ соответственно подходящих размерностей выполняется $(AB)C = A(BC)$ .
Дистрибутивность относительно сложения: $A(B + C) = AB + AC$ для матриц $A$ , $B$ и $C$ подходящих размерностей.
Умножение на единичную матрицу: $AI = IA = A$ , где $I$ - единичная матрица.

Примеры использования

Пример 1

\begin{equation*} \begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \times 2 + 2 \times 1 & 1 \times 0 + 2 \times 2 \\ 3 \times 2 + 4 \times 1 & 3 \times 0 + 4 \times 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{equation*}

Пример 2

Пусть $A$ - матрица с размерами $2 \times 3$ , а $B$ - матрица с размерами $3 \times 2$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Тогда их произведение:

\begin{equation*} \begin{aligned} AB &= \begin{pmatrix} 1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1 & 1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0 \\ -1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1 & -1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{equation*}

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Почему умножение матриц не коммутативно?
- В общем случае, умножение матриц $AB$ и $BA$ зачастую дает разные результаты или даже не определено. Это связано с разницей размеров или свойств самих матриц.
Как определить размер результирующей матрицы?
- Размер результирующей матрицы $C$ , где $C = AB$ , определяется следующим образом: если $A$ имеет размер $m \times n$ , а $B$ - $n \times p$ , то $C$ будет иметь размер $m \times p$ .

Примеры из жизни

Применение в реальном мире:
- Компьютерная графика: умножение матриц используется для трансформации координат. Видео-объяснение
- Экономика: модели линейного программирования.
- Физика: анализ движений.

Ссылки на литературу и ресурсы

Учебники и литература:
- Тыртышниктов Е. Е. «Матричный анализ и линейная алгебра»
- Курош А.Г. «Курс высшей алгебры»
Онлайн курсы: