Косинусное расстояние между матрицами

Введение

Косинусное расстояние — это мера расхождения между двумя объектами, представленными в виде векторов. Оно измеряет угол между двумя векторами в многомерном пространстве. В контексте матриц, косинусное расстояние используется для сравнения строк или столбцов, трактуемых как векторы. Это популярный метод в областях, связанных с анализом данных, такими как машинное обучение и обработка текстов.

Операция

Косинусное расстояние между двумя векторами uu и vv вычисляется как:

cosine_distance=1−cos⁡(θ)=1−u⋅v∥u∥∥v∥\text{cosine\_distance} = 1 - \cos(\theta) = 1 - \frac{u \cdot v}{\|u\| \|v\|}

где u⋅vu \cdot v — скалярное произведение векторов, ∥u∥\|u\| и ∥v∥\|v\| — их нормы (длины).

Для матриц измеряется косинусное расстояние между строками одной матрицы и строками другой, что позволяет определить сходство структур данных, сравнивая их по строкам, представляющим многомерные наблюдения.

Применение

  • Вычисление косинусного расстояния можно использовать для кластеризации, классификации и анализа данных, где нужно определить подобие между набором векторов.

Свойства

  • Диапазон значений: Косинусное расстояние принимает значения от 0 до 1, где 0 соответствует полному совпадению (угол между векторами 0 градусов), а 1 говорит о полной ортогональности.
  • Безразмерность: В отличие от евклидова расстояния, косинусное расстояние не зависит от масштаба векторов.
  • Эффективность для больших данных: Косинусное расстояние полезно, когда важна ориентация вектора, а не его величина, что часто бывает в задачах обработки текстов и информационного поиска.

Примеры использования

Пример

Рассмотрим две матрицы AA и BB, каждая из которых имеет размер 2×22 \times 2:

Матрица AA:

A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

Матрица BB:

B=(5678)B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}

Вычислим косинусное расстояние между строками матриц AA и BB.

  1. Вычислим скалярное произведение строк:

    • (1,2)⋅(5,6)=1⋅5+2⋅6=5+12=17(1, 2) \cdot (5, 6) = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 = 5 + 12 = 17.
    • (3,4)⋅(7,8)=3⋅7+4⋅8=21+32=53(3, 4) \cdot (7, 8) = 3 \cdot 7 + 4 \cdot 8 = 21 + 32 = 53.

  2. Вычислим нормы строк:

    • ∥(1,2)∥=12+22=1+4=5\|(1, 2)\| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}.
    • ∥(5,6)∥=52+62=25+36=61\|(5, 6)\| = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}.
    • ∥(3,4)∥=32+42=9+16=5\|(3, 4)\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5.
    • ∥(7,8)∥=72+82=49+64=113\|(7, 8)\| = \sqrt{7^2 + 8^2} = \sqrt{49 + 64} = \sqrt{113}.

  3. Расчёт косинусного расстояния:

    • Для (1,2)(1, 2) и (5,6)(5, 6)
      • cosine_distance=1−175⋅61≈1−1717.49≈0.027\text{cosine\_distance} = 1 - \frac{17}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{61}} \approx 1 - \frac{17}{17.49} \approx 0.027
    • Для (1,2)(1, 2) и (7,8)(7, 8)
      • cosine_distance=1−235⋅113≈0.032\text{cosine\_distance} = 1 - \frac{23}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{113}} \approx 0.032
    • Для (3,4)(3, 4) и (5,6)(5, 6)
      • cosine_distance=1−395⋅61≈0.001\text{cosine\_distance} = 1 - \frac{39}{5 \cdot \sqrt{61}} \approx 0.001
    • Для (3,4)(3, 4) и (7,8)(7, 8)
      • cosine_distance=1−535⋅113≈0.003\text{cosine\_distance} = 1 - \frac{53}{5 \cdot \sqrt{113}} \approx 0.003

Так, мы получили матрицу косинусных расстояний: (0.0270.0320.0010.003)\begin{pmatrix} 0.027 & 0.032 \\ 0.001 & 0.003 \end{pmatrix}

Таким образом, косинусное расстояние показывает, что строки из матриц AA и BB весьма сходны друг с другом.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

  • Что такое косинусное расстояние?
    Косинусное расстояние измеряет угол между двумя векторами в пространстве, показывая степень их сходства.

  • Как косинусное расстояние применяется к матрицам?
    Оно применяется путем расчета косинусного расстояния между каждой парой строк, рассматриваемых как векторы из разных матриц.

  • Когда использовать косинусное расстояние?
    Оно целесообразно в ситуациях, где форма данных важнее их величин, такие как задачи анализа текстов.

Примеры из жизни

  • Анализ текстов: Косинусное расстояние помогает в задачах классификации и кластеризации текстовых документов, например, находит сходства между новостными статьями.
  • Рекомендательные системы: Используется для расчета сходства между предпочтениями пользователей, моделируемых как векторы.
  • Общие сведения в общении: Извлекаются сходства между различными сегментами пользователей в социальных сетях или мессенджерах.

Ссылки на литературу и ресурсы